Skip to content

Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. Методы решения задач В. Т. Волков, А. Г. Ягола

У нас вы можете скачать книгу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. Методы решения задач В. Т. Волков, А. Г. Ягола в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

В качестве упражнения, докажите сами, что задача решения системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ и задача решения неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром эквивалентны. Таким образом, справедлива следующая Теорема. Для любого число линейно независимых решений однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода и союзного с ним однородного уравнения одинаково.

Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром разрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность f x ортогональна всем линейно независимым решениям однородного союзного уравнения. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром разрешимо для любой неоднородности f x тогда и только тогда, когда однородное уравнение имеет только тривиальное решение. В силу обратимости оператора I S имеет место взаимно однозначное соответствие: Покажем, что уравнение для Y является уравнением с вырожденным ядром.

Тем самым, мы показали, что любому интегральному уравнению с невырожденным ядром эквивалентно некоторое интегральное уравнение с вырожденным ядром.

На основании этого можно получить результаты, аналогичные полученным выше для уравнений с вырожденными ядрами. Теорема была доказана для случаев симметрических и вырожденных ядер. В общем случае она доказывается путем сведения интегрального уравнения с невырожденным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром. Либо неоднородное уравнение 3 разрешимо для любой неоднородности f x либо однородное уравнение 1 имеет нетривиальное решение.

Множество характеристических чисел однородного уравнения 1 не более, чем счетно, с единственной возможной предельной точкой. Этот результат справедлив для любого вполне непрерывного оператора. Нами он был получен для вполне непрерывных самосопряженных операторов и, тем самым, доказан для случая симметрических ядер. Для интегральных операторов с вырожденными ядрами результат тривиален.

Все эти теоремы мы доказали для случая, когда K x, s непрерывная функция по совокупности переменных на [a, b] [ a, b] ; f x , y x непрерывные на [a, b] функции; K x, s , f x , y x - вещественные функции.

Сформулировать теорему о числе линейно независимых решений однородного уравнения Фредгольма 2-го рода и союзного с ним 1-я теорема Фредгольма. При каких условиях на ядра интегральных операторов эта теорема была доказана в лекционном курсе? Сформулировать теорему о необходимом и достаточном условии разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода 2-я теорема Фредгольма.

Сформулировать альтернативу Фредгольма 3-я теорема Фредгольма. Сформулировать теорему о характеристических числах интегрального оператора Фредгольма 4-я теорема Фредгольма.

Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром имеет и притом единственное решение для любой непрерывной функции f x. Доказать, что неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром разрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность f x ортогональна всем линейно независимым решениям однородного союзного уравнения. Доказать, что неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром разрешимо для любой неоднородности - непрерывной функции f x - тогда и только тогда, когда однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Доказать эквивалентность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ и задачи решения неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Получить уравнение для отыскания характеристических чисел интегрального оператора Фредгольма с вырожденным ядром.

Получить интегральное представление решения неоднородного уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденным ядром через определители Фредгольма при условии, что не является характеристическим числом. Задача Штурма-Лиувилля эквивалентна задаче на характеристические числа и собственные функции для интегрального оператора с непрерывным симметрическим замкнутым ядром.

Используя эквивалентность задачи Штурма-Лиувилля задаче на характеристические числа и собственные значения для интегрального оператора с симметрическим непрерывным и не равным тождественно нулю ядром, докажем следующие теоремы. Предположим, что характеристических чисел конечное число. Заметим, что собственное значение кратности единица называется простым собственным значением. Докажем, что каждое собственное значение является простым.

Предположим, что это не так. Тогда некоторому собственному значению соответствуют две линейно независимые собственные функции y1 x и y2 x. Поскольку дифференциальное уравнение в задаче Штурма-Лиувилля является линейным уравнением второго порядка, то y1 x и y2 x образуют фундаментальную систему решений. Поскольку функции y1 x и y2 x обращаются в нуль в точках a и b, то этим же свойством обладает и любое другое решение.

Необходимо помнить только, что у второй краевой задачи в случае q x 0, существует нулевое собственное значение. Описать свойства собственных значений и собственных функций задачи ШтурмаЛиувилля в случае однородных граничных условий первого рода.

Доказать, что оператор Штурма-Лиувилля является симметрическим в пространстве h[a, b], если в качестве области его определения рассматривать подпространство дважды непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на концах отрезка [a, b].

Доказать, что задача Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода эквивалентна задаче на характеристические числа и собственные функции для интегрального оператора с непрерывным симметрическим и замкнутым ядром. Доказать, что задача Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода имеет бесконечно много собственных значений.

Доказать, что собственные значения задачи Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода простые имеют кратность единица. Доказать, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода ортогональны с весом x. Доказать, что собственные значения задачи Штурма-Лиувилля с однородными граничными условиями первого рода положительны. Типичной задачей вариационного исчисления является задача Дидоны: Хорошо известно, что это окружность.

Прежде всего, докажем, что выполняется уравнение Эйлера. Как доказано в параграфе 3 для задачи с закрепленными концами, в этом случае выполняется уравнение Эйлера. Теперь рассмотрим задачу, в которой оба конца являются подвижными: В этом случае должны выполнятся условия трансверсальности на правом и на левом концах.

Из этого следует, что выполняется условие трансверсальности на правом конце аналогичное утверждение справедливо и для левого конца. В заключение параграфа рассмотрим пример.

Окружность ортогональна прямой лишь в том случае, когда диаметр окружности лежит на этой прямой. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что левый конец закреплен, а правый подвижен, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче.

Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что левый конец свободен, а правый подвижен, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что оба конца подвижны, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума простейшего функционала вариационного исчисления, считая, что оба конца свободны, и записать необходимые условия экстремума в этой задаче.

Для этой цели преобразуем разность интегралов по двум, вообще говоря, различным кривым в интеграл по одной кривой. Напомним, что экстремалью называется решение уравнения Эйлера. Пусть область G на плоскости x, y содержит кривую, заданную функцией y x. Если через каждую точку области G проходит и при том единственная кривая, являющаяся решением уравнения Эйлера, то говорят, что множество таких экстремалей образует собственное поле.

Поле экстремалей называется центральным, если выполнены те же условия, но все экстремали пересекаются в одной точке a, A или b, B. В случае центрального поля функция p x, y определена везде в области G, кроме одной из точек пересечения экстремалей a, A или b, B. Очевидно, что max V [ y ] max 1, Можно применять и другие подходы. Из-за недостатка времени мы не можем рассмотреть их подробно. Сформулировать достаточные условия сильного минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

Сформулировать достаточные условия слабого минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

Сформулировать достаточные условия Лежандра сильного минимума в задаче с закрепленными концами. Сформулировать достаточные условия Лежандра слабого минимума в задаче с закрепленными концами.

Сформулировать достаточные условия сильного максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса. Сформулировать достаточные условия слабого максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса. Сформулировать достаточные условия Лежандра сильного максимума в задаче с закрепленными концами.

Сформулировать достаточные условия Лежандра слабого максимума в задаче с закрепленными концами. Обосновать достаточные условия сильного минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса. Обосновать достаточные условия слабого минимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса. Обосновать достаточные условия сильного максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса.

Обосновать достаточные условия слабого максимума в задаче с закрепленными концами с использованием функции Вейерштрасса. Эта тема по предмету рассмотрения примыкает к первой главе, однако, помещена в конец курса, поскольку существенно использует методы вариационного исчисления.

Как и ранее, будем предполагать, что ядро K x, s - функция, непрерывная по совокупности аргументов x [c, d ], s [a, b], а решение y s - непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Тем самым, мы можем рассматривать оператор A как действующий в следующих пространствах: Остановимся подробнее на первом случае и покажем, что задача решения уравнения Фредгольма первого рода при условии A: C[a, b] h[c, d ] является некорректно поставленной. На самом же деле, это не так: Мы не можем доказать это утверждение в общем виде. Для доказательства необходимо использовать некоторые сведения из функционального анализа, знание которых выходит за рамки данного курса.

Поэтому поясним это утверждение только на примере. Тогда очевидно, что решение интегрального уравнения также не существует. Если ядро замкнуто, то обратный оператор существует, однако область его определения не совпадает с h[c, d ]. N1 N 2, где N1 и N 2 — нормированные операторного уравнения пространства. Некорректно поставленная задача называется регуляризируемой, если существует хотя бы один регуляризирующий алгоритм ее решения.

Понятно, что корректно поставленные задачи являются регуляризируемыми, поскольку в качестве регуляризирующего алгоритма можно выбрать обратный оператор. Рассмотрим регуляризирующий алгоритм решения интегрального уравнения первого рода, предложенный А. Сформулировать теорему о согласовании параметра регуляризации в функционале А.

Тихонова с погрешностью входных данных для построения регуляризирующего алгоритма решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Доказать, что задача решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода при интегральный оператор действует A: C[a, b] h[a, b], является условии, что некорректно поставленной. Доказать, что если взаимно однозначный оператор A является вполне непрерывным при действии из h[a, b] в h[c, d ], то обратный оператор не является ограниченным.

Доказать теорему о существовании и единственности минимума функционала А. Методическое пособие к учебнику В. В 57 Введение в георадиолокацию. Учебное пособие — М.: Примеры расчета режимов резания Карта 1. Практически все современные программные продукты, используемые в допечатной подготовке, поддерживают этот формат. Данное методическое пособие предназначено для тех, кто выпол Защита и действия населения в чрезвы Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.

Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам , мы в течении рабочих дней удалим его. Вариационное исчисление курс лекций. Классификация линейных интегральных уравнений. Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Краевая задача на собственные значения и собственные функции задача ШтурмаЛиувилля.

Самосопряженный вполне непрерывный оператор А обладает максимальным вектором. Если оператор A 2 обладает собственным вектором z, соответствующим собственному значению M 2, то оператор А имеет собственный вектор, соответствующий собственному значению Теорема. Тогда оператор Фредгольма обладает собственным значением, 0: Иногда удобнее использовать характеристические числа: Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Число собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора A, удовлетворяющих условию: A 0, - фиксированное положительное число конечно. Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению, называется кратностью собственного значения.

Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных векторов. Нулевому собственному значению может отвечать как конечное, так и бесконечное число линейно независимых собственных векторов. Для характеристических чисел вполне непрерывного самосопряженного оператора справедливы аналогичные результаты:.

Аналогичные утверждения верны для интегрального оператора с непрерывным, симметрическим и неравным тождественно нулю ядром. В этом случае вместо слов собственные векторы говорят собственные функции интегрального оператора или собственные функции ядра K x, s.

Пусть А - вполне непрерывный самосопряженный оператор со следующей последовательностью характеристических чисел неважно, конечной или бесконечной:. Можно рассматривать оператор Фредгольма в пространстве непрерывных комплекснозначных функций hC [a, b], состоящем из комплекснозначных функций вещественной переменной x: В этом пространстве скалярное сопряжения.

Пусть интегральный оператор с непрерывным симметрическим вещественным ядром K x, s действует в комплексном пространстве hC[a,b]. Тогда этот оператор может иметь только вещественные собственные значения. В этом случае и у него всегда есть нулевое собственное значение, причем кратность его равна. Некоторые задачи на нахождение характеристических чисел и собственных функций оператора Фредгольма с непрерывным невырожденным ядром рассмотрены также в примерах к теме 7. Пусть M - подпространство евклидова пространства, инвариантное относительно самосопряженного оператора А.

Доказать, что ортогональное дополнение M подпространства М также инвариантно относительно оператора А. Поэтому для произвольных элементов получим Замечание. Докажем, что норма рассматриваемого оператора равна 1. Для этого достаточно построить последовательность yn x непрерывных функций такую, что Ayn h[0,1] 1.

Напомним, что элемент y: Рассмотренный оператор умножения в пространстве h[0,1] является самосопряженным, но не вполне непрерывным, поэтому теорема о существовании максимального вектора в данном случае неприменима. Рассмотрим интегральный оператор а все собственные функции 2, Действительно то есть является характеристическим числом оператора A, что и требовалось. Здесь было использовано неочевидное так как k и - собственные функции различных операторов!!! Рассматриваемый оператор не является вполне непрерывным см.

Рассмотрим ограниченную последовательность Докажем равномерную ограниченность zn x в пространстве C[0,1]. Имеем zn x1 zn x2 , то есть последовательность z n x равностепенно непрерывна. Итак, последовательность функций z n x , непрерывных на сегменте [0,1], равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Из теоремы Арцела следует, что из нее z n x можно выделить равномерно сходящуюся при x [0,1] к непрерывной функции подпоследовательность. Очевидно, что этим же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности z n x.

Следовательно, оператор А является вполне непрерывным при действии h[0,1] C[0,1]. Но, так как из равномерной сходимости следует сходимость в среднем, то та же самая подпоследовательность непрерывных функций, которая сходится равномерно к некоторой непрерывной функции, сходится и в среднем к той же функции.

Поэтому оператор А является вполне непрерывным и при действии h[0,1] h[0,1]. Рассматриваемый оператор не является самосопряженным. Действительно, путем интегрирования по частям легко показать, что Поэтому теорема о существовании собственного вектора в данном случае неприменима. Требуется найти такие, при которых существуют нетривиальные решения этого уравнения.

Следовательно, y x 0 при любом, то есть характеристических чисел у исследуемого оператора нет. Ядро исследуемого оператора симметрическое и непрерывное, следовательно, оператор Фредгольма в данной задаче является вполне непрерывным и самосопряженным. Так как собственные функции, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, то искомая ортонормированная система есть Пример 3.

Так как ядро вещественно, то имеет место также комплексное сопряжение. Умножим второе уравнение на y x , а первое - на комплексно сопряженную функцию y x , и проинтегрируем по отрезку [a, b].

Напомним, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественные числа. В рассмотренном случае интегральный оператор Фредгольма не является самосопряженным, поэтому собственные значения могут не быть вещественными в данном примере все ненулевые собственные значения оказались чисто мнимыми. Если оператор несамосопряженный, то характеристические числа могут не быть действительными. Доказать, что множество векторов, ортогональных, образуют замкнутое линейное подпространство, инвариантное относительно A.

Доказать, что собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным 3. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым". Пусть D — оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий D: B B, где В банахово полное нормированное пространство. Оператор D называется сжимающим или сжимающим отображением , если существует константа q: Теорема о неподвижной точке.

Пусть D — сжимающий оператор. Эта точка может быть найдена методом последовательных приближений: Пусть D - оператор, отображающий банахово пространство B в себя, и пусть существует натуральное число k такое, что D k - сжимающий оператор.

Напомним определение сжимающего оператора. Оператор А, действующий в банаховом пространстве B называется сжимающим, если q: Пусть в банаховом пространстве В заданы два сжимающих оператора А и Зададим некоторое число 0. Доказать, что неподвижные точки x и y этих операторов находятся на расстоянии Решение.

Тогда Переходя в последнем неравенстве к пределу при k, получим доказать. Привести пример оператора, переводящего банахово пространство В в себя, удовлетворяющего условию Ay Az B y z B для любых y, z B, и не имеющего неподвижной точки. C[0,1] C[0,1] будет сжимающим при 1. C[0,1] C[0,1] будет сжимающим при 2. Так как ядро оператора Фредгольма в данной задаче является вырожденным, то решение уравнения может быть получено непосредственно методами, рассмотренными в примерах 6.

Для построения резольвенты также могут быть использованы и другие приемы сравните с результатом примера 6. Легко видеть, что если , то при n обе подпоследовательности получена выше в качестве решения задачи другим способом.

Показать, что ряд Неймана сходится лишь в области 1, однако решение, полученное при этом условии, существует при всех 1. Следовательно, при 1, ряд Неймана сходится, и решением уравнения является расходится, и справедливость полученной формулы оказывается под сомнением.

Заметим, что при решение существует, несмотря на то, что ряд Неймана расходится. Уравнение Вольтерра 2-го рода при любом значении имеет единственное решение для любой непрерывной функции f x. При любом однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Оператор Вольтерра, действующий C[a, b] C[a, b], не имеет характеристических чисел. Таким образом, оператор Вольтерра является примером вполне непрерывного оператора, не имеющего ни одного характеристического числа.

Метод последовательных приближений для уравнения Вольтерра 2-го рода называется методом Пикара и выглядит так: Уравнения Вольтерра с ядрами специального вида могут также решаться путем сведения к дифференциальному уравнению, либо с использованием преобразования Лапласа примеры 5.

Выберем в качестве начального приближения y0 x 0, тогда последовательно найдем:. Если ядро симметрическое, то союзное уравнение совпадает с исходным.

В курсе лекций теорема была доказана для интегральных уравнений с вырожденными и симметрическими ядрами. Для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно, чтобы f x была ортогональна всем линейно независимым характеристическое число. Либо неоднородное уравнение 3 разрешимо при любой неоднородности непрерывной функции f x , либо однородное уравнение 1 имеет нетривиальное решение.

Множество характеристических чисел однородного уравнения 1 не более, чем счетно, с единственной возможной предельной точкой. Этот результат справедлив для любого вполне непрерывного оператора.

В курсе лекций он был получен для вполне непрерывных самосопряженных операторов, и, тем самым, доказан для случая симметрических ядер. Для интегральных операторов с вырожденными ядрами результат тривиален. В курсе лекций теоремы Фредгольма были доказаны для уравнений с симметрическими непрерывными ядрами и уравнений с непрерывными вырожденными ядрами.

Они справедливы и для общего случая произвольного непрерывного ядра, так как имеет место следующая Теорема. Если не является характеристическим числом то есть D 0 , то интегральное уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и притом, единственное, решение для любой непрерывной функции f x.

Решение алгебраической системы для c j может быть получено, например, по формулам Крамера: Тогда резольвента интегрального оператора. Пусть ядро K x, s непрерывно по совокупности переменных, симметрическое и K x, s 0 ; - вещественное число;.

В этом случае решение не единственно и определяется формулой где c k o, Бесконечный ряд, записанный в данном выражении, сходится абсолютно и равномерно. Подробно рассмотрены основные вопросы уравнений математической физики такие как: Содержание Постановка краевых задач математической физики Учебное пособие "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление курс лекций. Лекционный курс "Интегральные уравнения. Учебное пособие посвящено одному из современных направлений прикладной математики — теория обратных задач, непосредственно связанной с проблемами обработки и интерпретации экспериментальной информации.

Рассматриваются особенности постановки обратных задач и методы их решения.